>=< ฟังก์ชันเอ็กโปเนนเชียลและลอการิทึม >=<


       ฟังก์ชันเอ็กโปเนนเชียลและลอการิทึม
กฎของเลขยกกำลัง
ถ้า a,b เป็นจำนวนจริงใดๆจะได้
1. am+ an = am+n
2. (ab)n = anbn
3. (am)n = amn
f = { (x,y) | R x R+ | y = ax ; a > 0
และ a 1 } เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล จาก y = ax , a > 0, a 1 จะได้ x R และ y R+ นั่นคือ โดเมนเป็นเซตของจำนวนจริง และเรนจ์เป็นเซตของจำนวนจริงบวก

1. ถ้า a > 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันเพิ่ม
2.
ถ้า 0 < a < 1 ฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลเป็นฟังก์ชันลด
3.
สมบัติที่สำคัญคือ ex = ey ก็ต่อเมื่อ x = y ส่วนสมบัติอื่นๆมีเช่นเดียวกับเลขยกกำลัง

      การแก้สมการเอ็กโปเนนเชียล  
     
การแก้สมการเอกโพเนนเชียลที่มักพบอยู่บ่อยๆมี 4 วิธี คือ
1.
ทำให้ฐานเท่ากัน คือทำให้ ap(x) = aq(x) แล้วสรุปว่า p(x) = q(x)
2.
ทำให้กำลังเหมือนกันแต่ฐานต่างกัน คือ ap(x) = bq(x) แล้วสรุปได้ว่า p(x) = 0
3.
ทำให้เป็นเลขจำนวนเดียวยกกำลังแล้วมีค่าเท่ากับ 1 คือทำเป็น (abc)u = 1 แล้วสรุปว่า u = 0

     การแก้อสมการเอกซ์โพเนนเชียล

กลุ่มที่ 1 ฐานเหมือนกันเลขชี้กำลังต่างกัน

1. เมื่อ

a  > 1

จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะคล้อยตามอสมการของเลขยกกำลัง

    เช่น

ax > ay

จะได้ว่า x > y

 

ax < ay

จะได้ว่า x < y

2. เมื่อ

0 < a < 1

จะได้ว่า อสมการของเลขชี้กำลังจะตรงข้ามกับอสมการของเลขชี้กำลัง

    เช่น

ax > ay

จะได้ว่า x < y

 

ax < ay

จะได้ว่า x > y

กลุ่มที่ 2 ฐานต่างกันเลขชี้กำลังเหมือนกัน

1.

ถ้าอสมการของเลขยกกำลังคล้อยตามอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0

 

เช่น a < b , ax < bx จะได้ว่า x > 0

 

      a > b , ax > bx จะได้ว่า x > 0

2.

ถ้าอสมการของเลขยกกำลังตรงข้ามกับอสมการของเลขฐานจะได้ว่าเลขชี้กำลัง < 0

 

เช่น a > b , ax < bx จะได้ว่า x < 0

 

      a < b , ax > bx จะได้ว่า x < 0

 

      y = loga x มีความหมายว่า x = ay

 

ถ้า a = 10 เรียกว่า ลอการิทึมสามัญ เขียนแทนด้วย log x
ถ้า a = e 2.71828 เรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ln x ( คือ loge x )
โดเมนของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริงบวก เรนจ์ของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเซตของจำนวนจริง

 

สมบัติที่สำคัญ

1.
2.

loga
loga xy

=
=

loga y ก็ต่อเมื่อ x = y
loga x + loga y

3.
4.

loga(x/y)
loga xy

=
=

loga x + loga y
yloga x + loga

5.

logaa

=

1

6.

loga1

=

0

7.

ln 1

=

log 1 = 0

8.

ln e

=

1, log 10 =1

9.

eln x

=

x , 10log x = x

10.

ln ex

=

x , log 10x = x

13.

ax

=

ex ln a

      การหาค่า log x เขียน x = A 10n เมื่อ 1 < A < 10 หาค่าของ log A จากตาราง แล้วจะได้
log x = n + log A

ตัวอย่าง log 5710

= log (5.71 103)
= 3 + log 5.71
= 3 + 0.7566 = 3.7566

     การหาค่า x เมื่อทราบค่า  log x เช่น log x = 7.8341 ค่า x ทำได้โดยการใช้เครื่องคิดเลขและการเปิดตาราง
1.
เขียน log x = n + B เมื่อ 0 < B < 1 และ n เป็นจำนวนเต็ม
2.
หาค่า y เมื่อ log y = B จากตารางแอนติลอการิทึมหรือตารางลอการิทึม (โดยดูย้อนกลับ) ได้ค่า y
แล้วจะได้ x = y 10n

    การแก้สมการลอการิทึม การแก้สมการลอการิทึมมีรูปแบบที่พบกันบ่อยๆอยู่ 4 วิธี คือ
1.
แยกตัวประกอบ เช่น (log 4 x)3-(log 4 x)2 - 2log 4 x = log 4 x (log 4 x - 2)( log 4 x + 1 ) = 0
2.
เปลี่ยนรูป y = logax เป็น x = ay
3.
ทำให้เป็นลอการิทึมฐานเดียวกันมีค่าเท่ากันคือทำให้ log a u = log a v แล้วสรุปว่า u = v
4.
แปลงรูปสมการโดยใช้สมบัติของลอการิทึม

    การแก้อสมการลอการิทึม อสมการลอการิทึมสามารถแก้ได้โดยใช้สมบัติต่อไปนี้คือ
1. กรณีที่ a > 0 จะได้ว่า logau > loga v ก็ต่อเมื่อ u > v
2.
กรณีที่ 0 < a < 1 จะได้ว่า loga u > loga v ก็ต่อเมื่อ u < v
3.
แปลงอสมการลอการิทึมให้อยู่ในรูปอสมการเอกซ์โพเนนเชียล เช่น
log3( x + 2 ) < 4 = x + 2 < 34

1